- شرح المتتابعات
- ما هي المتتابعة الحسابية؟
- المتتابعات الهندسية .. أحد أهم أنواع المتتاليات الحسابية
- ما هي متتابعة فيبوناتشي؟
- ما المقصود بقاعدة المتتابعات؟
- أمثلة على حل المتتابعات الهندسية والحسابية
شرح المتتابعات
المتتابعات أو المتتاليات عبارة عن ترتيب مجموعة من الأعداد التي تتبع عادة لنمط القاعدة المحددة ويمكن لهذه الممتالية أو المتتابعة أن تكون منتهية، وقد تكون غير منتهية، وهناك العديد من الأنواع للمتتابعات والمتتاليات، في هذا المقال سنتعرف على على أهم هذه المتتابعات و المتتاليات من خلال هذا المقال، الذي نتعرف على العديد من المعلومات الحسابية والرياضية والهندسية والتي لها العديد من التطبيقات الحياتية.
ما هي المتتابعة الحسابية؟
المتتابعات أو المتتاليات الحسابية هي عبارة عن الفرق بين كل حدين متتاليتين من حدودها الثابت، ومن هذا نعتبر أن الفرق بين كل عددين المتتاليتين منها مقدار ثابت في الأعداد، وهذه المتتالية يعطي حد أول وهو العدد 2، أما الرمز فهو ح1 ويطلق عليه العلماء في مجال الرياضيات ويرمز الفرق الثابت بين كل حدين متتاليين بالرمز د وهذه المتتالية عادة تكون عبارة عن المعادلة التالية: ح ن = ح1+(ن-1)×د
ومن حيث الرموز فإن ن عبارة عن العدد الذي يعبر في المتتالية على ترتيب الحد الذي نريد أن نعرف قيمته ( ح ن) وذلك عبر المعادلة التالية التي سبق أن عرضناها ” ح ن = ح1+(ن-1)×د”
ومن ناحية أخرى فإنه يمكن إيجاد المجموع في قيمة حدود المتتاليات الحسابية حتى حد معين فيها ن وذلك من خلال استخدام القانون التالي: المجموع = (ن/2)× (2×ح1+(ن-1)×د).
المتتابعات الهندسية .. أحد أهم أنواع المتتاليات الحسابية
من أهم أنواع المتتاليات الحسابية على الإطلاق، المتتالية الهندسية، وهي عبارة متتابعات تكون فيها النسبة بين كل عددين متتاليين متساوية ومن أهم الأمثلة على هذه المتتابعات الهندسية، تلك المتتالية: 2، 6، 18، 54، 162
وبالتالي فإن المتتابعة الهندسية لها حدود حوالي 5 حدود والحد الأول فيها يساوي الرقم 2، أما النسبة بين العددين المتتالين يساوي 3 كما في التتابع السابق.
ومن ناحية أخرى، فإن المتتابعة الهندسية ما هي إلا إخضاع للقانون التالي: ح ن = أ×ر (ن-1) حيث أ يعتبر هو الحد الأول في المتتابعة الهندسية، ويمكن إيجاد تلك الناتج من خلال القسمة للحدين المتتاليين، وذلك في حدود المتتابعة أو المتولية الهندسية مع بعضهما البعض، وبالتالي يمكن إخضاع هذا المثال على بقية الأمثلة الأخرى للمتابعات الهندسية.
ومع هذه الأنواع السابقة، فإن هناك العديد من الأنواع للمتتاليات أو المتتابعات، والتي نتعرف عليها بعد قليل.
ما هي متتابعة فيبوناتشي؟
هذه المتتابعة التي وضعها العالم الرياضي فيبوناتشي، وهي متتابعة تعتمد على أن كل عدد من هذه المتتابعة مساويا في القيمة لمجموع العددين السابقين له، ومثال على ذلك يمكننا أن نعرض هذه المتتابعة التي تدل على القواعد التي وضعها فيبوناتشي في متابعته، وهذا هو المثال: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، ………. أما القانون الرياضي والقاعدة الرمزية التي تتحكم في هذه المتتابعة وحلها، هي العلاقة والقانون التالي: ح ن = ح ن-1+ح ن-2.
ما المقصود بقاعدة المتتابعات؟
قاعدة المتتابعات ما هي إلا قاعدة يمكن تحديد النوع الخاص بها من خلال تحديد المتتالية الحسابية والهندسية ومن ثم إيجاد قاعدتها كما تم ذكرها في السابق، وذلك في حالات متعددة مثل أن تكون المتتابعة ليست حسابية، أو انها لا تنتمي للنوع الهندسي، أو متتابعة فيبوناتشي السابقة، وبالتالي يمكن معرفة القاعدة من خلال المحاولة والخطأ والتخمين لنوع العلاقة التي تربط بين الأعداد المختلفة.
وهناك العديد من الأمثلة على معرفة نوع قاعدة المتتالية الحسابية والهندسية وغيرها من الأنواع عبر العلاقة الحسابية التالية: ح ن = ن² والتي من خلالها معرفة قاعدة المتتابعات بشتى أنواعها، ومعرفة بقية حدودها كما تناولناها في النقاط السابقة.
أمثلة على حل المتتابعات الهندسية والحسابية
يمكننا فهم كيفية حل المتتابعات والمتواليات الهندسية والحسابية أو متتابعة فيبوناتشي من خلال الأمثلة التي نعرضها من خلال النقاط التالية، حيث يتم تطبيق حل هذه المتتابعات عن طريق العديد من القوانين التي تناولناها سابقاً:
المثال الأول
ما هو العدد والحد الــ 35 في تلك المتتابعة الحسابية التالية: 3، 9، 15، 21، ……..؟
الحل:
من خلال تطبيق تلك القاعدة الرياضية: ح ن = ح1+(ن-1)×د
سنعرف الفرق بين الحدين المتتاليين من خلال د = 6 والحد الأول 3 وبالتالي يمكن حلها من خلال المعادلة التالية: ح ن = 3+(ن-1)×6 = 6×ن-3. وبالتالي فإن ن هو ترتيب الحد المراد إيجاده والذي يساوي 35 وبالتعويض في القانون فإن حد المتتالية الخامس والثلاثين نتعرف على حله عبر المعادلة التالية: ح 35 = 6×ن-3 = (6×35)-3 = 207.
المثال الثاني
الحد الخامس في متتابعة يساوي -8 والحد الخامس والعشرين يساوي في نفس المتتابعة حوالي 72، فما هي القاعدة لهذه المتتابعة، مع إيجاد قيمة الحد رقم 100؟
الحل:
أولاً القاعدة العامة للمتابعة تلك هو القانون التالي: ح ن = ح1+(ن-1)×د وبالتالي فإن قيمة إيجاد أي حد في هذه المتتابعة نحتاج معرفته أولاً إلى إيجاد قيمة كل من ح1، د.
وذلك من خلال المعادلة الأولى لمعرفة وإيجاد قيمة الحد خامس الذي يساوي -8 وذلك من خلال -8 = ح1 + (5-1)×د……….
أما المعادلة الثانية، والتي نتعرف عليها من خلال معرفة الحد الخامس والعشرين والي يساوي حوالي 72 من خلال المعادلة تلك: 72 = ح1 + (25-1)×د…………. زبطريقة الحذف فإن هذه المعادلة تبيّن طريقة الحل لمعرفة الحد رقم 100 وهي: ح1 = -24، د =4. ثم ح ن = -24+(ن-1)×4 وبالتالي فإن الحل هو: ح100= -24 + (100-1)×4= 372.
المثال الثالث
متتابعة القاعدة لها تعبر عنها المعادلة تلك: حن = 3ن+2
فإن الحل هو عبر ح ن = 3 ن+2، ومنه: ح1 = 3×1+2 = 5. ح2 = 3×2+2 = 8. ح3 = 3×3+2 = 11. ح4= 3×4+2 = 14. ح5 = 3×5+2 = 17.
وبالتالي فإن حدود المتتالية الخمسة هي: 5، 8، 11، 14، 17.
المثال الرابع
ما هو قيمة الحد س في المتتالية التالية: 16، 21، س، 31، 36
الحل:
من أجل قيمة الحد المفقود، فإنه يجب أن نعرف نوع المتتابعة، وهي من النوع الحسابي والقاعدة العامة المطبقة عليها من المفترض أن تكون: ح ن = ح1+(ن-1)×د أما القاعدة الخاصة التي تطبق في حالتها لإيجاد الحد المفقود هي ح ن = 16+(ن-1)×5
وبما أن العدد الأول في هذه المتتالية هو الرقم 16، وأن الفرق بين العددين في هذه المتتالية هو الرقم 5، فإن قيمة الحد المفقود س تساوي هذه المعادلة التالية: ح 3= 11+5×3 = 26.
المثال الخامس
ما هي القاعدة المتبعة المتتالية التالية: 4، 5، 6، 7، ……؟
الحل:
الحل للحدود المفقودة في هذه المتتالية يتم تحديده من خلال معرفة نوع هذه المتتالية، وهي متتالية حسابية بالنظر، وبالتالي فإن الحدود وقاعدتها العامة دائماً ما تكون هذه المعادلة التالية: ح ن = ح1+(ن-1)×د أما القاعدة الخاصة تكون عبر المعادلة التالية: ح ن = 4+(ن-1)×1 = ن+3
وهذا الحل أتى من خلال الرقم 4 وهو العدد الأول في هذه المتتابعة، وبالتالي فإن الفرق بين كل عددين متتالين في هذه المتتابعة هو العدد رقم 1، وبالتالي كانت تلك المعادلة الخاصة المطبقة هي قاعدة هذه المتتابعة كما رأينا في هذا المثال.
المثال السادس
ما هي القاعدة المتبعة للمتتالية التالية” -1، 0، 3، 8، 15، ……؟
الحل:
هذه المتتالية ليست من النوع الهندسي ولا الحسابي، حيث لابد من من معرفة نوع المتتالية لكي يتم الحل على أساس القاعدة العامة، لذلك لابد من إيجاد القاعدة وبالتالي فإنه يجب تخمين العلاقة بين القيمة ( ن ) والتي تتمثل ترتيب الحد عبر الرموز التالية: و ح ن والتي تمثل قيمة الحد، وبالتالي يمكن الحل عن طريق الخطوات التالية:
إذا كان رقم الحد ( ن ) هو: 1- 2 – 3 – 4 – 5
فإن قيمة الحد على نفس الترتيب هي: -1 – 0 – 3 – 8 – 15
وهنا يمكن إيجاد قاعدة المتتالية التالية عبر هذه القاعدة وهي: ح ن = ن×(ن-2).
المثال السابع
اوجد الحد الخامس من هذه المتتابعة: 1، 4، 27، 256، ……..؟
الحل عن طريق:
معرفة هذا النوع لتلك المتتابعة أو المتتالية فهي ليست هندسة ولا حسابية، وبالتالي من أجل إيجاد القاعدة العامة لها، يجب أن نقوم بتخمين العلاقة بين قيمة ( ن ) والتي تمثل ترتيب الحد عبر الرموز التالية: و ح ن والتي تمثل قيمة الحد، وبالتالي فإن الحل يتم عبر الطريقة التالية:
رقم الحد ( ن ): 1 – 2 – 3 – 4
قيمة الحد ( ح ن ): 1 – 4 – 27 – 256
وبما إن المتتالية أصبحت على هذا النحو فإن القاعدة العامة هي: ح ن = ن ن
وبالتالي يمكن إيجاد الحد الخامس من هذه المتتابعة عبر المعادلة التالية: ح 5 = 5 5 = 3125
المثال الثامن
اوجد قيمة الحد السادس من هذه المتتابعة: 2، 5، 10، 17، 26، …..؟
الحل:
من أجل إيجاد الحد السادس، فيجب معرفة القاعدة العامة لهذه المتتابعة السابقة، وبالتالي من أجل إيجاد ذلك، فإننا نتبع الطريقة التالية:
رقم الحد ( ن ): 1- 2 – 3- 4- 5
قيمة الحد ( ح ن ) على الترتيب: 2- 5- 10 – 17 – 26
وبالتالي فإنه يمكن معرفة القاعدة على انها ح ن = ن²+1 ولإيجاد الحد السادس عبر هذه القاعدة، فإن الحل يكون عبر المعادلة التالية: 6²+1 = 36+1 = 37.
المتتابعات لها العديد من التطبيقات الحسابية والهندسية التي تستخدم في الحياة اليومية، وليست منحصرة على المجالات الرياضية بهان لذلك كان هذا المقال لمحة عن أهمية هذه المتتابعات، مع حل أمثلة عليها.
بواسطة: Asmaa Majeed
اوجد المتتابعة الحسابيه التى حدها السابع ٥وحدها العاشر ثلاثه امثال حدها الثالث عشر ثم اوجد رتبه اول حد سالب في المتتابعة الحسابيه
بواسطة اسراء ناجح حفنى |