- كيف يمكننا ايجاد المضاعف المشترك الأصغر ؟
- شرح لكيفية البحث عن المضاعف المشترك الأصغر
- كيف نجد المضاعف المشترك الاصغر باستخدام التحليل الى العوامل
- أمثلة حول المضاعف المشترك الأصغر
- المضاعف المشترك الأكبر
- مثال يتضمن مضاعف مشترك اصغر ومضاعف مشترك اكبر
كيف يمكننا ايجاد المضاعف المشترك الأصغر ؟
هناك طريقتان رئيسيتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر:
الطريقة الأولى:
- نبدأ بكتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد المعطاة على شكل قائمة.
- ثم نبحث عن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.
مثال:
لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 4 و 6.
مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، …
إذن، فإن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات هو 12.
الطريقة الثانية:
- نقوم بتحليل كل عدد من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
- ثم نأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل.
- وأخيراً، نقوم بضرب كل عامل بأكبر درجة تكرر فيها.
مثال:
لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 16 و 25.
تحليل العدد 16: 2^4 تحليل العدد 25: 5^2
إذن، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.
ملاحظة:
إذا كانت الأعداد المعطاة كبيرة، فتكون الطريقة الثانية أكثر فاعلية من الطريقة الأولى.
شرح لكيفية البحث عن المضاعف المشترك الأصغر
الطريقة الأولى: طريقة المضاعفات
في هذه الطريقة، نبدأ بكتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد المعطاة على شكل قائمة. ثم نبحث عن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.
مثال:
لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 4 و 6.
مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، …
إذن، فإن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات هو 12.
شرح الخطوات:
- نبدأ بكتابة مضاعفات العدد 4.
- ثم نكتب مضاعفات العدد 6.
- نقارن المضاعفات الموجودة في كلتا القائمتين.
- نبحث عن أصغر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.
- في هذا المثال، فإن أصغر عدد مشترك هو 12.
ملاحظة:
إذا كانت الأعداد المعطاة كبيرة، فقد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً للعثور على المضاعف المشترك الأصغر باستخدام هذه الطريقة.
الطريقة الثانية: طريقة العوامل الأولية
في هذه الطريقة، نقوم بتحليل كل عدد من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية. ثم نأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل. وأخيراً، نقوم بضرب كل عامل بأكبر درجة تكرر فيها.
مثال:
لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 16 و 25.
تحليل العدد 16: 2^4 تحليل العدد 25: 5^2
إذن، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.
شرح الخطوات:
- نقوم بتحليل كل عدد من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
- نأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل.
- نقوم بضرب كل عامل بأكبر درجة تكرر فيها.
- في هذا المثال، فإن 2 تكرر 4 مرات في العدد 16، و 5 تكرر 2 مرة في العدد 25.
- إذن، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.
ملاحظة:
إذا كانت الأعداد المعطاة كبيرة، فتكون هذه الطريقة أكثر فاعلية من الطريقة الأولى.
كيف نجد المضاعف المشترك الاصغر باستخدام التحليل الى العوامل
لجد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل إلى العوامل، نتبع الخطوات التالية:
- نقوم بتحليل كل عدد من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
- نأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل.
- نقوم بضرب كل عامل بأكبر درجة تكرر فيها.
مثال:
لنفترض أننا نريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 16 و 25.
تحليل العدد 16: 2^4 تحليل العدد 25: 5^2
إذن، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.
شرح الخطوات:
- نقوم بتحليل العدد 16 إلى عوامله الأولية، فنجد أنه يساوي 2^4.
- نقوم بتحليل العدد 25 إلى عوامله الأولية، فنجد أنه يساوي 5^2.
- نلاحظ أن العدد 2 تكرر 4 مرات في العدد 16، و العدد 5 تكرر 2 مرة في العدد 25.
- إذن، فإن المضاعف المشترك الأصغر هو 2^4*5^2 = 200.
ملاحظة:
إذا كانت الأعداد المعطاة كبيرة، فتكون هذه الطريقة أكثر فاعلية من الطريقة الأولى، حيث أنها لا تتطلب كتابة جميع مضاعفات الأعداد المعطاة.
أمثلة حول المضاعف المشترك الأصغر
أمثلة باستخدام طريقة المضاعفات:
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 2 و 3 هو 6.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 5 و 7 هو 35.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 10 و 12 هو 60.
أمثلة باستخدام طريقة العوامل الأولية:
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 2^2 و 3^2 هو 2^2*3^2 = 36.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 2^3 و 5^2 هو 2^3*5^2 = 100.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 2^25 و 2^33 هو 2^3*5 = 120.
أمثلة أخرى:
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 10 و 15 هو 30.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 30 و 40 هو 60.
- المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 60 و 70 هو 140.
تطبيقات المضاعف المشترك الأصغر:
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لتوحيد المقامات في الأعداد الكسور، وذلك عن طريق ضرب كل مقام بالعدد اللازم حتى يصبح مساوياً للمضاعف المشترك الأصغر.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لحساب المدة الزمنية التي تستغرقها عدة أشخاص لإكمال مهمة ما، وذلك عن طريق تقسيم المهمة إلى أجزاء متساوية في المضاعف المشترك الأصغر لأوقات العمل لكل شخص.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأصغر لحساب عدد القطع التي يمكن تصنيعها من مادة معينة، وذلك عن طريق قسمة الكمية المتوفرة من المادة على المضاعف المشترك الأصغر لأبعاد القطع.
المضاعف المشترك الأكبر
المضاعف المشترك الأكبر (بالإنجليزية: Greatest Common Multiple) لعددين هو أكبر عدد يقبل القسمة على كل منهما بدون أي باقي قسمة.
مثال:
المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و 6 هو 12.
شرح:
العدد 12 يقبل القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة، بينما لا يقبل أي عدد أكبر من 12 القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة.
طرق إيجاد المضاعف المشترك الأكبر:
هناك طريقتان رئيسيتان لإيجاد المضاعف المشترك الأكبر:
الطريقة الأولى:
- نبدأ بكتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد المعطاة على شكل قائمة.
- ثم نبحث عن أكبر عدد مشترك بين هذه المضاعفات.
المثال السابق:
مضاعفات العدد 4: 4، 8، 12، 16، … مضاعفات العدد 6: 6، 12، 18، …
إذن، فإن أكبر عدد مشترك بين هذه المضاعفات هو 12.
الطريقة الثانية:
- نقوم بتحليل كل عدد من الأعداد المعطاة إلى عوامله الأولية.
- ثم نأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل.
- وأخيراً، نقوم بضرب كل عامل بأقل درجة تكرر فيها.
المثال السابق:
تحليل العدد 4: 2^2 تحليل العدد 6: 2*3
إذن، فإن المضاعف المشترك الأكبر هو 2^2*3 = 12.
ملاحظة:
إذا كانت الأعداد المعطاة كبيرة، فتكون الطريقة الثانية أكثر فاعلية من الطريقة الأولى.
أمثلة حول المضاعف المشترك الأكبر:
- المضاعف المشترك الأكبر بين العددين 2 و 3 هو 6.
- المضاعف المشترك الأكبر بين العددين 5 و 7 هو 35.
- المضاعف المشترك الأكبر بين العددين 10 و 12 هو 60.
تطبيقات المضاعف المشترك الأكبر:
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب عدد الصفوف أو الأعمدة في جدول البيانات، وذلك عن طريق قسمة أكبر عدد في كل عمود أو صف على المضاعف المشترك الأكبر لأعداد الأعداد في العمود أو الصف.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب عدد القطع التي يمكن تصنيعها من مادة معينة، وذلك عن طريق قسمة الكمية المتوفرة من المادة على المضاعف المشترك الأكبر لأبعاد القطع.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر لحساب المدة الزمنية التي تستغرقها عدة أشخاص لإكمال مهمة ما، وذلك عن طريق قسمة المدة الزمنية المطلوبة لإكمال المهمة على المضاعف المشترك الأكبر لأوقات العمل لكل شخص.
ما الفرق بين المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الاصغر مع امثلة
الفرق الرئيسي بين المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هو أن المضاعف المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقبل القسمة على كل من العددين، بينما المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد يقبل القسمة على كل من العددين.
مثال:
المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و 6 هو 12، بينما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و 6 هو 6.
شرح:
العدد 12 يقبل القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة، بينما لا يقبل أي عدد أكبر من 12 القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة.
أما العدد 6 فيقبل القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة، بينما لا يقبل أي عدد أصغر من 6 القسمة على العددين 4 و 6 بدون أي باقي قسمة.
أمثلة أخرى:
- المضاعف المشترك الأكبر للعددين 2 و 3 هو 6، بينما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 3 هو 6.
- المضاعف المشترك الأكبر للعددين 5 و 7 هو 35، بينما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 5 و 7 هو 35.
- المضاعف المشترك الأكبر للعددين 10 و 12 هو 60، بينما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 10 و 12 هو 60.
تطبيقات المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر:
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في العديد من التطبيقات العملية، مثل:
- توحيد المقامات في الأعداد الكسور.
- حساب المدة الزمنية التي تستغرقها عدة أشخاص لإكمال مهمة ما.
- حساب عدد القطع التي يمكن تصنيعها من مادة معينة.
خاتمة:
المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر من المفاهيم الرياضية المهمة التي لها العديد من التطبيقات العملية.
مثال يتضمن مضاعف مشترك اصغر ومضاعف مشترك اكبر
مثال:
- لنفترض أن هناك مصنعًا ينتج قطعًا من الخشب بطول 10 سم وقطعًا من المعدن بطول 12 سم. يريد المصنع تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع متساوية الحجم حتى يمكن تصنيعها بسهولة.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لحساب الحجم الأصغر للقطع التي يمكن تقطيع الخشب والمعدن إليها.
- المضاعف المشترك الأكبر للعددين 10 و 12 هو 60. هذا يعني أنه يمكن تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 60 سم. ومع ذلك، قد يكون هذا الحجم كبيرًا جدًا لسهولة التصنيع.
- المضاعف المشترك الأصغر للعددين 10 و 12 هو 6. هذا يعني أنه يمكن تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 6 سم. هذا الحجم أصغر بكثير وأكثر قابلية للإدارة.
- لذلك، يمكن للمصنع تقطيع الخشب والمعدن إلى قطع بحجم 6 سم. هذا سيضمن أنه يمكن تصنيعها بسهولة دون الحاجة إلى قطعها إلى قطع كبيرة جدًا.
مثال آخر:
لنفترض أن هناك شركة لديها اثنين من العمال، أحدهما يعمل لمدة 4 ساعات في اليوم والآخر يعمل لمدة 6 ساعات في اليوم. تريد الشركة معرفة عدد ساعات العمل التي سيستغرقها كلا العمال لإكمال مهمة ما.
- يمكن استخدام المضاعف المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لحساب عدد الساعات التي سيستغرقها كلا العمال لإكمال المهمة.
- المضاعف المشترك الأكبر للعددين 4 و 6 هو 12. هذا يعني أن كلا العمال يمكنهما إكمال المهمة في 12 ساعة. ومع ذلك، قد يكون هذا الوقت طويلًا جدًا.
- المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 و 6 هو 2. هذا يعني أن كلا العمال يمكنهما إكمال المهمة في 2 ساعة. هذا الوقت أقصر بكثير وأكثر كفاءة.
- لذلك، يمكن للشركة تعيين كلا العمال ليعملان لمدة 2 ساعة لإكمال المهمة. هذا سيضمن أنه سيتم إكمال المهمة في الوقت المناسب دون الحاجة إلى توظيف المزيد من العمال.
بواسطة: Mona Fakhro
اضف تعليق