- حساب مساحة المثلث
- ما هو المثلث؟
- ما هو قانون حساب مساحة المثلث؟
- خصائص قانون مساحة المثلث
- أمثلة على حل قانون مساحة المثلث
حساب مساحة المثلث
المثلث من الأشكال الهندسية التي لها أهمية كبيرة في عالم الهندسة، فهو من الأشكال التي ارتبط معها العديد من القوانين حول الزوايا والمساحة وغيرها من الجوانب الهندسية الأخرى، في هذا المقال نتعرف على أهم القوانين والأمثلة لحساب مساحة المثلث، وهذا ما نلقي عليه الضوء بالتفصيل من خلال السطور القليلة القادمة.
ما هو المثلث؟
المثلث من الأشكال الهندسية المغلقة والتي تتكوّن من ثلاثة أضلاع ولها العديد من الأنواع، حيث تنقسم الأشكال الهندسية للمثلث حسب قياس الزوايا.
فالمثلث به ثلاث زوايا والتي قياس الواحدة منها 90 درجة، وبالتالي الثلاث زوايا مجموعها حوالي 180 درجة، وبالتالي فإن إلى مجموع هذا الرقم للزوايا تعني أن المثلث منفرج الزاوية، أما إذا كان مجموع الزوايا 90 فقط، فهذا يعني أنه قائم الزاوية، أما المثلث الحاد الزوايا فهو أقل في درجات الزوايا من 90 درجة.
أما أضلاع المثلث، فهي ثلاثة أضلاع، وهو المثلث المتساوي في الأضلاع، و المثلث متساوي الساقين والمثلث الذي يكون فيه ضلعين متساويين أو مثلث مختلف الأضلاع، وهو الشكل الهندسي للمثلث الذي لا تساوي فيها أي ضلع من أضلاع المثلث أبداً.
ما هو قانون حساب مساحة المثلث؟
مساحة المثلث هي الحيز المحصور ما بين الزوايا والأضلاع، وبالتالي يمكن قياس هذا الحيز من خلال وحدة قياس وهي المتر المربع، وهي الوحدة القياسية الهامة لقياس المساحة، وكذلك عبر القانون المعروف بقانون حساب المثلث وهو: مساحة المثلث = 0.5 × القاعدة × الارتفاع
وهذا القانون السابق يستخدم في حساب مساحة جميع أنواع المثلثات سواء المختلفة أو متساوية الأضلاع أو غيرها، وكذلك التي تتساوى في الزوايا أو مختلفة الزوايا، وهناك العديد من الأمثلة لإيجاد مساحة الحيز داخل الشكل الهندسي للمثلث وذلك من خلال القانون السابق، فإذا افترضنا على سبيل المثال أن قاعدة المثلث حوالي 20 متر والارتفاع حوالي 12 متر فقط، فما هو مساحة المثلث؟
مساحة المثلث في تلك الحالة = 0.5 × 20 × 12 = 120م مربع.
خصائص قانون مساحة المثلث
قانون مساحة المثلث له العديد من الخصائص، منها أن مساحة المستطيل مثلاً دائماً يرتبط بهذا القانون، وذلك من خلال مساحة كل منهما تساوي نصف مساحة المستطيل، فهو هو نفس القانون للمثلث، وبالتالي فإنه يمكن الاستفادة في إيجاد نصف مساحة المستطيل من خلال قانون مساحة المثلث.
ومن الخصائص الهامة لقانون مساحة المثلث، أنه يمكن حسابها من خلال حساب المثلثات المعروف، فهناك العديد من القوانين التي يتم حسابها، ومن هذه القوانين هذا القوانين: مساحة المثلث = 0.5 × الضلع المجاور الأول × الضلع المجاور الثاني × جا ( س )
وجا س = جيب الزاوية المحصورة بين ضلع المثلث الأول والضلع الثاني لنفس المثلث.
ويتم صحة هذا القانون من خلال العناصر التالية:
ج ( س ) = المقابل / الوتر وهذا القانون يستخدم فيه الرموز التالية:
جا ( س ) = الارتفاع / الوتر
الارتفاع = جا ( س ) × الوتر
وبالتالي المساحة حسب القانون الأصلي = 0.5 × القاعدة × الارتفاع.
وبالتالي فإن القاعدة والتور في المثلث هما الضلعين المجاورين للزاوية س وهنا نجد أن صيغة القانون تكون على الشكل التالي: مساحة المثلث × 0.5 × الضلع المجاور الأول × الضلع المجاور الثاني × جا ( س )
مقالات مشابهة
ومن الخصائص الهامة لحساب مساحة المثلث حسب قواعد حساب المثلثات وقوانينه، فإنه يمكن حساب هذا الحيز الهندسي من خلال قياس أحد الأضلاع بالإضافة لقياس كلا الزاويتين المجاورتين لهذا الضلع من خلال القانون التالي: مساحة المثلث = الضلع 2 × جا ( س ) × جا ( ص ) / ( 2 × ( جا ( س + ص ))
وبتفكيك هذا القانون السابق، فإن س و ص هما الزاويتان المتجاورتان للضلع في المثلث.
أيضاً نجد أن في حالة توافر قياس أضلاع المثلث الثلاثة، فإننا يمكن ان نجد مساحة المثلث من خلال صيغة قانون معين يعرف بصيغة قانون هيرون والذي ينص على: س = ( أ + ب + ج ) / 2
وبتفكيك هذا القانون إلى الرموز المختلفة، فإن س = نصف قيمة محيط شكل المثلث وهو الذي يساوي جميع أطوال مجموع أطوال أضلاع هذا المثلث الثلاثة.
وهنا نجد أن حساب مساحة المثلث يكون كالتالي: مساحة المثلث = ( س × ( س – أ ) × ( س – ب ) × ( س – ج ) ^0.5
ومن الأمور الهامة التي نجدها ضمن خصائص هذا القانون، أنه يستخدم لمساحة المثلث قائم الزاوية، فإذا كان الضلع القائم وبالتالي فإننا سنتعرف على الحل في هذه الحالة القائمة بالذات من خلال الخطوات التالية:
إذا افترضنا أن القانون التالي لمساحة المثلث هو: مساحة المثلث = 0.5 × الارتفاع × القاعدة
وفي حالة المثلث متساوي الأضلاع من خلال قانون مساحة المثلث هي كالآتي:
مساحة المثلث متساوي الأضلاع = أ²*((3^½) /4)
و أ هنا يرمز إلى طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع.
أمثلة على حل قانون مساحة المثلث
هناك العديد من الأمثلة التي نتعرف من خلالها اهمية قانون مساحة المثلث، من خلال المعطيات التي تعرفنا عليها، ومن خلال النقاط التي نتعرف عليها لاحقاً، سنتعرف بالتفصيل على أهمية هذا القانون وحل الحيز الهندسي الفارغ من المثلث بجميع أنواع وزواياه المختلفة، وهذا ما نتعرف عليه من خلال الأمثلة التالية:
المثال الأول
إذا كان هناك مثلث حاد الزاوية طول القاعدة = 13 إنش وارتفاعه حوالي 5 إنش فما هي المساحة، وذلك باستخدام قانون مساحة المثلث؟
وبالتالي فالحل يكون عبر الخطوات التالية:
المساحة = 0.5 × القاعدة × الارتفاع
وبالتالي فإن مساحة المثلث = 0.5 × 13 × 5 = 32.5 إنش 2
المثال الثاني
ما هو مساحة المثلث الذي يكون طول اثنين من أضلاعه 25 و 12 وحدة على التوالي، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 51 درجة، فما هو الحل؟
باستخدام قانون مساحة المثلث القائم على قيم جيب الزاوية فإن:
مساحة المثلث = 0.5 × الضلع الأول × الضلع الثاني × جا ( س )
مساحة المثلث = 0.5 × 12 × 25 × جا ( 51 )
مساحة المثلث = 0.5 × 12 × 25 × 078
مساحة المثلث = 117 وحدة مربعة
المثال الثالث
إذا كان قياس أطوال المثلث حوالي 31،44،60 على التوالي، فما هي مساحة المثلث باستخدام صيغة قانون هيرون؟
بتحليل الرموز فإن
س = ( أ + ب + ج ) 2
س = ( 60 + 44 + 31 )/ 2
مساحة المثلث = (67.5*(67.5-60)*(67.5-44)*(67.5-31)^0.5
وبالتالي مساحة المثلث (67.5*7.5*23.5*36.5)^0.5
ومساحة المثلث = 434235.9^0.5
وبالتالي فمساحته بالوحدة المربعة = 658.97 وحدة مربعة.
المثلث من ضمن أهم الأشكال الهندسية التي تعرفنا عليها من خلال هذا المقال، حيث تعرفنا على اهم قوانين مساحة المثلث من خلال الأمثلة التي عرضناها، وصيغ القوانين المختلفة التي تعرفنا على أهم تفاصيلها، فهل تعرف الآن إيجاد مساحة المثلث الداخلية؟
بواسطة: Asmaa Majeed
اضف تعليق