4 معلومات توضح كيفية حساب الوسيط

• النزعة المركزية
• ما هو تعريف النزعة المركزية؟
• ما هي طريقة حساب الوسيط؟
• مجموعة من الأمثلة المختلفة التي توضح تحديد الوسيط
• ما هو الفرق بين كل من الوسيط والمعدل والمنوال؟

النزعة المركزية

في مقالنا اليوم سوف نتعرف على مجموعة من أهم المعلومات المتعلقة بكيفية حساب الوسيط، والعديد من الأمثلة التي توضح هذا الأمر.

ما هو تعريف النزعة المركزية؟

النزعة المركزية تعرف على أنها نزوع المشاهدات إلى الاقتراب أو الابتعاد عن نقطة الوسط، وهي نقطة المركز التي تتجمع حولها أكثر المشاهدات والتّكرارات. وهناك الكثير من المقاييس المعروفة التي يتم استخدامها من أجل تحديد النزعة المركزية ويتم استخدامها في عملية الإحصاء، هذه المقاييس هي الوسط الحسابي، المنوال، الوسيط، الوسط الهندسي، والوسط التوافقي.

ما هي طريقة حساب الوسيط؟

أما بالنسبة للوسيط فهو يعتبر أحد القيم الخاصة بالنزعة المركزية، وهو يتم استخدامه لكي نقوم بتحديد المتوسط التقريبي لمجموعة مختلفة من البيانات، والوسيط هو الرقم الأوسط ضمن قائمة الأرقام التي تكون مرتبة ترتيبا تصاعديا أو ترتيبا تنازليا، وهنا يتم تقسيم القيم إلى قسمين، الجزء الأول هو الجزء العلوي والقسم الآخر هو القسم السفلي وفي هذه الحالة سوف يكون الوسيط ممثلا للقيمة الوسطى في قائمة الأرقام، كما أن الوسيط يتم استخدامه لكي نعرف المتوسط بشكل تقريبي.

وهنا من المهم أن نذكر نقطة مهمة للغاية وهي أن قيمة الوسيط من الممكن أن تختلف عن قيمة الوسيط الحسابي بشكل كبير، خاصة عندما تكون هناك مجموعة من القيم المتطرفة والمختلفة بشكل كبير في قيمتها عن باقي القيم وباقي المشاهدات، هذه العملية تؤدي إلى التأثير على قيمة المتوسط وفي المقابل لن يتأثر الوسيط بهذا الشكل، حيث أنه سوف يعتبر أقل تأثرا بمجموعة القيم إذا ما تمت مقارنته بالوسط الحسابي.

أما طريقة إيجاد الوسيط لمجموعة من البيانات العديدة باستخدام الطريقة اليدوية فهذا يتم من خلال الخطوات التالية، مع مراعاة الالتزام بهذه الخطوات بنفس الترتيب الموجودة به:

• الخطوة الأولى هي القيام بترتيب القيم من الأصغر إلى الأكبر أو العكس، بمعنى القيام بترتيب الأرقام بشكل تصاعدي أو شكل تنازلي.
• القيام بعد القيم، فإذا وجدنا أن عدد القيم فردي فإن الوسيط يعتبر هو العدد الذي يتوسط هذه القيم بعد القيام بترتيبها، ومن الممكن ترتيب ذلك من خلال تطبيق هذا القانون “ترتيب الوسيط=2/(عدد المشاهدات+1)”.
• هنا مثلا سوف الوسيط عبارة عن الأعداد التالية : 4,5,6,7,8 هو العدد 6.
• أما إذا كان العدد زوجيا فإن الوسيط يعتبر في هذه الحالة هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين، ويتم معرفة ذلك من خلال استخدام القانون التالي “عدد المشاهدات/2” وهنا يكون الوسيط هو المتوسط الحسابي لهذه القيمة ومجموعة من القيم التي تليها، ومن الممكن أن نوضح ذلك من خلال المثال التالي “الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية بعد ترتيبها: 3,4,7,9,12,15 هو 2 /(7+9)=8”.

مجموعة من الأمثلة المختلفة التي توضح تحديد الوسيط

وفيما يلي سوف نتعرف سويا على مجموعة من الأمثلة المهمة التي توضح كيفية القيام بتحديد الوسيط:

مثال رقم (1)

قم بإيجاد الوسيط لمجموعة الأرقام الآتية: 1, 2, 4, 7.[٦]

حل المثال

عدد الأرقام في هذا المثال زوجيّ؛ لذا يتم حساب الوسيط وفقاً لمتوسّط القيمتين الوسطيتين في القائمة وهما: (2,4)، وذلك كما يأتي: (2+4)/2 = 3؛ وهي قيمة غير موجودة في القائمة.

مثال رقم (2)

جد الوسيط للأعداد الآتية: 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13.

حل المثال

بما أنّ القائمة مكوّنة من عشر قيم؛ فإنّ ترتيب قيمة الوسيط ستكون كالآتي: 2/(10+1) = 5.5، وهذا يعني أنّ الوسيط موجود بين القيمة الخامسة والسادسة في السلسلة، أي بين القيمة (10) والقيمة (11)؛ وبذلك يكون الوسيط: 2/(10+11) = 10.5.

مثال رقم (3)

جد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 1,2,3,5,6,8,9,11.

حل المثال

عدد الأرقام في هذا المثال هو ثمانية، وهو زوجي، ولتحديد الوسيط يجب أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الرابعة والخامسة في الترتيب، وهو: الوسيط= 2/(5+6)= 5.5.

مثال رقم (4)

قم بإيجاد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 65,57,33,41,49.

حل المثال

يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 33,41,49,57,65، بما أن عدد الأرقام فردي فيمكن تحديد ترتيب قيمة الوسيط عن طريق هذا القانون: ترتيب الوسيط=2/(عدد المشاهدات+1)= 2/(5+1)=3؛ فالوسيط هنا هو القيمة الثالثة في الترتيب بين القيم، وهو العدد 49.

مثال رقم (5)

قم بإيجاد الوسيط لمجموعة الأعداد الآتية: 10, 40, 20, 50.

حل المثال

يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 10, 20 ,40, 50، وبما أن عدد الأرقام في هذا المثال هو أربعة وهو زوجي، فيجب لتحديد الوسيط أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها لإيجاده عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الثانية والثالثة في الترتيب، وهو: الوسيط= 2/(20+40)= 30.

مثال رقم (6)

تبلغ رواتب ثمانية موظفين في إحدى الشركات: $40,000, $29,000, $35,500, $31,000, $43,000, $30,000, $27,000, $32,000، جد الراتب الوسيط لمجموعة الرواتب هذه.

حل المثال

يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أو تنازلياً، لتصبح: $27,000, $29,000, $30,000, $31,000, $32,000, $35,500, $40,000, $43,000، وبما أن عدد الأرقام في هذا المثال هو ثمانية وهو زوجي، فيجب لتحديد الوسيط أولاً تحديد القيم التي يجب حساب المتوسط لها لإيجاده عن طريق قسمة عدد المشاهدات على اثنين، لينتج أن الوسيط هنا هو المتوسط الحسابي للقيمتين الرابعة والخامسة في الترتيب، وهو: الراتب الوسيط= 2/($31,000 + $32,000)= $31,500.

مثال رقم (7)

تبلغ أعمار الأطفال في إحدى العائلات: 9, 12, 7, 16,13 سنة، ما هو عمر الطفل الأوسط أو العمر الوسيط في هذه العائلة.

حل المثال

يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً أوتنازلياً، لتصبح: 7, 9, 12, 16,13، وبما أن عدد الأرقام فردي فيمكن تحديد ترتيب قيمة الوسيط عن طريق هذا القانون: ترتيب الوسيط= 2/(عدد المشاهدات+1)= 2/(5+1)=3؛ فالوسيط هنا هو القيمة الثالثة في الترتيب بين القيم، وهو العدد 12، إذن عمر الطفل الأوسط في هذه العائلة هو 12سنة.

مثال رقم (8)

احسب الوسيط للبيانات التالية التي تمثل الوقت المستغرق بالثواني لقطع المسافة لـ 21 رياضياً ضمن أحد سباقات الجري السريع.

الوقت المستغرق التكرار التكرار المتجمع التراكمي:

51-55 2 2

56-6 7 9

61-65 8 17

66-70 4 21

المجموع 21

حل المثال:

• يجب لحساب الوسيط أولاً تحديد الفئة التي يوجد فيها، وهي أول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها القيمة ن، حيث ن= مجموع القيم/2، وفي هذه الحالة ن= 21/2=10.5، وأول فئة تبلغ قيمة التكرار التراكمي لها العدد 10.5هي الفئة الثالثة (61-65).
• التعويض في القانون مباشرة؛ حيث: القيمة الدنيا للفئة التي يوجد الوسيط فيها= 60.5؛ حيث تضم هذه الفئة عادة القيم التي تزيد عن 60.5، ويتم التعبير عنها عادة بالقيمة 61 بعد التقريب. مجموع التكرارات الكلي=21. قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية=9.
• تكرار الفئة الوسيطية=8. طول الفئة الوسيطية=5. الوسيط= القيمة الدنيا للفئة الوسيطية+ (((مجموع التكرارات الكلي/2)-قيمة التكرار التراكمي قبل الفئة الوسيطية ) / تكرار الفئة الوسيطية)*طول الفئة الوسيطية=60.5+(8/((21/2)-9))*5= 61.4375.
• يتضح مما سبق أن نصف اللاعبين استغرق قطع المسافة لديهم مدة تزيد عن 61.44 ثانية، أما النصف الآخر فاستغرق مدة تقل عن 61.44 ثانية.

ما هو الفرق بين كل من الوسيط والمعدل والمنوال؟

يعتبر كل من المعدل أو المتوسط الحسابي والوسيط فهم يشيرون إلى القيمة الوسطى أو المركزية الخاصة بالبيانات التي يتم إعطائها، وفي أغلب الأحوال فإن قيمة هذه المعدلات تختلف لكن هذا لا يمنع أنها قد تتماثل في أحيان أخرى. وعلى سبيل المثال فإن المتوسط الحسابي لكل من الأرقام التالية هو: 5/(10+10+20+40+70)=30، وهذا يساوي مجموع القيم بعد أن يتم قسمتها على عددها، والوسيط يعتبر هو القيمة الوسطى منها بعد ترتيبها وهو 20.

أما المنوال فهو يعتبر القيمة الأكثر تكرارا بين باقي القيم وهو رقم 10.

وهنا من الممكن أن نوضح نقطة مهمة وهي أن أهمية الوسيط تكمن في العديد من البحوث والدراسات الخاصة بالمجتمع، فمثلا هناك بعض القيم المتطرفة مثل دخل بعض الأسر المرتفع جدا أثناء دراسة الدخل السنوي لمجموعة من الأسر التي توجد داخل المجتمع الواحد حيث أنه يؤثر على قيمة المتوسط الحسابي، كن من ناحية أخرى فإنه لا يكون له التأثير بشكل كبير على قيمة الوسيط، والوسيط في هذه الحالة يمثل نتائج أكثر دقة لمثل هذه الدراسات.