- تشابه المثلثات
- ما هي حالات تشابه المثلثات؟
- ما هي الحالات الأخرى التي قد تتشابه فيها المثلثات؟
- ما هي حالات تشابه المثلثات قائمة الزاوية؟
- النظريات المختلفة المتعلقة بتشابه المثلثات
- مجموعة من الأمثلة حول تشابه المثلثات
تشابه المثلثات
نتناول اليوم بحث عن تشابه المثلثات وهو يعرف على أنه علاقة تربط المثلثات ببعض من ضمن علاقات هندسية عديدة، وفي تشابه المثلثات تكون الزوايا المقابلة متساوية في المثلثين المتشابهين ، والأضلاع أيضا متناسبة، وهذا التشابه يختلف عن تعريف تطابق المثلثات، الذي يكون فيه أطوال الأضلاع في المثلثين متساويين، و الزوايا متساوية أيضا، و تشابه المثلثات رغم اختلاف أحجامها يكون لها نفس الشكل، وتكون الأضلاع متناسبة في المثلثات المتشابهة ومثال على ذلك إذا كان المثلث كان المثلث أ ب ج يشابه المثلث د هـ و فإن: (أب/دهـ)=(أج/دو)=(ب ج/هـ و).
والخلاصة في المثلثات هي:
- تطابق المثلثات يعني أن المثلثين يكونان بنفس الحجم والشكل ولهم رمز (≅).
- ولكن تشابه المثلثات فهو يعني أن المثلثين يكونان بنفس الشكل فقط والرمز لهم يكون (∽).
ما هي حالات تشابه المثلثات؟
الحالات العامة
نجد أن المثلثات تتشابه في حالات محددة وهي:
- تناسب جميع الأضلاع (SSS): يحدث تشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثان (ضلع، ضلع، ضلع)، أو حدث أن الأضلاع الثلاثة للمثلثين متساوية فهذا يتسبب بالمثلثين متطابقان وليسا متشابهين.
- تطابق الزوايا (AA): يحدث تشابه لمثلثان إذا تساوت زاويتان متناظرتان في كلا المثلثان (زاوية، زاوية).
- ضلعان وزاوية محصورة بينهما (SAS): يحدث تشابه لمثلثان عند حدوث تساوي في قياس زاوية في مثلث ما مع قياس زاوية في مثلث ثاني، وأطوال الأضلاع الذين يضمان الزاوية تتناسب (ضلع، زاوية، ضلع) مثال:
- فمثلاً يتشابه المثلث أ ب ج مع المثلث د هـ و إذا كانت إحدى الزاويتين المتقابلتين متساويتين مثل: (أ = د)، وكانت أطوال الأضلاع المتقابلة والتي تضم هذه الزوايا متناسبة (أب/دهـ = أج/دو)، ليؤدي إلى أن جميع الزوايا المتناظرة متطابقة وأن أطوال جميع الجوانب المتبقية متناسبة.
ما هي الحالات الأخرى التي قد تتشابه فيها المثلثات؟
هناك حالات قد تتشابه فيها المثلثات وهي التي تناسب فيها ضلعان من أحد المثلثات مع ضلعين آخرين متقابلين لهما في مثلث آخر، ويحدث تساوي في قياس زاوية في هذا المثلث (غير محصورة بين الضلعين المتناسبين)، وهذا مع قياس زاوية أخرى في المثلث الآخر، وهذا مع قياس زاوية أخرى في المثلث الآخر وهي الحالة المعروف ب(زاوية، ضلع، ضلع) أو (ضلع، ضلع، زاوية) وهذه الحالة لا تؤكد تشابه الثلثين العادية ولكنها تؤكد تشابه المثلثين في حالات مثل المثلثات قائمة الزاوية.
ما هي حالات تشابه المثلثات قائمة الزاوية؟
هناك حالات تشابه إضافية عن ما سبق ذكره مثل تشابه قائمة الزاوية ونجدها في حالات عدة وهي:
- حالة التشابه بالساقين: وهي عندما تكون أطوال السيقان متناسبة لمثلثين قائمين الزاوية، فإن المثلثين متشابهان وهذا بالأعتماد على حالة التشابه((ضلع، زاوية، ضلع).
- حالة التشابه بالوتر والساق: وهذا في حال كانت النسبة بين أطوال الوترين تساوي النسبة نفسها بين أطوال إحدى الساقين وهذا في مثلثين قائمين الزاوية هنا يكون المثلثين متشابهان.
- التشابه الزاوية الحادة: يحدث عندما تتطابق زاوية حادة في مثلث قائم مع زاوية أخرى حادة من مثلث قائم آخر، ويحدث أن يكون المثلثين متشابهان إذا تم اللجوء لحالة التشابه (زاوية، زاوية).
النظريات المختلفة المتعلقة بتشابه المثلثات
هناك نظريات عديدة متعلقة تشابه المثلثات وهي:
- أولا: عند تشابه مثلثان فإن النسبة بين مساحتي المثلثين تناسب مع مربع النسبة بين الضلعين؛مثال إذا كان المثلث( أب ج) والمثلث (د هـ و )متشابهين.
- فإن: (مساحة ∆أ ب ج/ مساحة ∆ د هـ و)=(أ ب/دهـ)²=(ب ج/هـ و)² =(أج/دو)²، ومساحة المثلث هي: ½×طول القاعدة×الارتفاع.
و لتوضيح هذه النظرية نقوم ببيان مثال:
إذا كان المثلثان أ ب ج، أدهـ متشابهين، وكان أد=5سم، وكان دب=10سم، وكان ب ج=20سم، فما هي النسبة بين مساحة كل من المثلثين أ ب ج، د هـ؟
الإجابة بالاعتماد على النظرية
بما أن الزاوية أهـ زاوية مشتركة بين المثلثين، والزاويتان أدهـ=أب ج لأنها زوايا متناظرة، فإن المثلثين متشابهان (أب ج ∽ أدهـ) بالاعتماد على حالة التشابه بالزوايا (زاوية، زاوية)، و بالتعويض في القانون: (مساحة أ ب ج/ مساحة ادهـ)=(أب/أد)²= ((5+10)/5)²=(3)²=9.
ثانيا: نظرية يوازي فيها مستقيم أحد أضلاع المثلث وتم قطع الضلعين الآخرين بواسطة المستقيم، فإنه يقوم بقسم الضلعين إلى أجزاء متناسبة، والمثلث الناتج يصبح مشابها للمثلث الأصلي.
مجموعة من الأمثلة حول تشابه المثلثات
المثال الأول
مثلثان قائمان أطوال سيقانهم المتقابلة، هي: 7، 2 سم، و 10.5، 3 سم، هل هذان المثلثان متشابهان، وما هي النسبة بين أطوال أضلاعهما؟
الإجابة
حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (10.5/7) هل تساوي (3/2)، بحساب كل منهما على حدة ينتج أن: 10.5/7=3/2=1.5، وبما أنها متساوية.
إذن فالمثلثان متشابهان، بتشابه ضلعين وزاوية محصورة بينهما (SAS).
المثال الثاني
مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 6، 7، 8 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: أ، ب، 6.4 سم، ما هي أطوال أضلاع المثلث الثاني؟
الإجابة
بما أن المثلثين متشابهان، فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/6.4)=1.25. حساب طول الضلع (أ) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (6/أ)=1.25، ومنه أ=4.8 سم.
حساب طول الضلع (ب) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/ب)=1.25، ومنه ب=5.6 سم.
المثال الثالث
مثلث أطوال أضلاعه هي: 2، 5، 12 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه هي: 4، 10، 24 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟
الإجابة
حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2/4)=2، (5/10)=2، (24/12)=2، وبما أنها متساوية، إذن في المثلثان متشابهان وفق حالة تناسب جميع الأضلاع (SSS).
المثال الرابع
مثلثان الأول أب هـ، والثاني ج دهـ، يلتقيان في النقطة (هـ)، وكان ج د=1.5سم، دهـ=2سم، هـ ج=3 سم، أهـ=5سم، وكان أب يوازي ج د، ما هو طول ب هـ؟
الإجابة
بما أن أب يوازي ج د فينتج زوج من الزوايا المتبادلة المتساوية في القياس، وهي: (أب هـ ⦣ = دج هـ⦣، ب أ هـ⦣= ج دهـ⦣)، والزاويتان (⦣ ب هـ أ،⦣ ج هـ د) متساويتان لأنهما متقابلتان بالرأس، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا. النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب هـ/ هـ ج)=(أهـ/دهـ)، ومنه (ب هـ/3)=(5/2)، ومنه ينتج أن قيمة ب هـ=5×3/2=7.5 سم.
المثال الخامس
مثلثان متشابهان أطوال أضلاع الأول هي: 4، 6، 7 سم، وأطوال أضلاع المثلث الثاني هي: 3، ج، د سم، ما هو طول الضلع د؟
الإجابة
بما أن المثلثين متشابهين فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (4/3)=1.3.
حساب طول الضلع (د) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (7/د)=1.3، ومنه د=5.25 سم.
المثال السادس
مثلث أطوال أضلاعه هي: 4، 2، 5 سم، ومثلث آخر أطوال أضلاعه المقابلة هي: 2.8، 1.4، 3.5 سم، هل هذان المثلثان متشابهان؟
الإجابة
حساب النسبة بين أطوال أضلاع المثلثين: (2.8/4)=0.7، (1.4/2)=0.7، (3.5/5)=0.7، وبما أنها متساوية إذن المثلثان متشابهان.
المثال السابع
المثلثان أد ي، أب جـ، يشتركان في النقطة (أ)، إذا كان ب ج يوازي دي، ودهـ يصل بين الضلعين أد، أي، وكان أب=3سم، ب د=2سم، دي=10سم، أج=4.5سم، فما هو طول ب ج؟
الإجابة
بما أن ب ج يوازي دي فيتكوّن زوج من الزوايا المتناظرة متساوية في القياس كالآتي: (⦣ أب ج=⦣ أدي، ⦣ أج ب=⦣ أي د)، والزاويتان (⦣ ب أج،⦣دأي) متساويتان لأنهما نفس الزاوية، بالتالي ينتج أن المثلثين متشابهان وفق حالة التشابه بالزوايا. النسبة بين الأضلاع المتشابهة: (ب ج/ دي)=(أب/أد)، ومنه (ب ج/10)=(3/(3+2))، ومنه ينتج أن قيمة ب ج=3×10/5=6 سم.
المثال الثامن
إذا كانت قياس الزاوية ت في المثلث س ت ر=25°، والزاوية ر=55°، وقياس الزاوية و في المثلث (وزي) 100°، والزاوية ز 25°، أثبت أن المثلين (س ت ر)، (وزي) متشابهان.
الإجابة
لإثبات تشابه المثلثين يجب أولاً، حساب قياس الزاوية الثالثة لكل منهما، وذلك لإثبات تشابههما بتطابق ثلاث زوايا، وذلك كما يلي: مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية س في المثلث (س ت ر)= 180-(25+55)=100°. مجموع زوايا المثلث=180°، وعليه قياس الزاوية ي في المثلث ( وزي)= 180-(25+100)=55°. مما سبق يتبين أن قياسات زوايا المثلث (س ت ر) هي: 100، 55، 25، قياسات زوايا المثلث (وزي)، هي: 100، 55، 25، وبالتالي هي متطابقة، و المثلثان متشابهان.
المثال التاسع
مثلثان قائمان متشابهان، إذا كان طول قاعدة الأول 6 سم، وارتفاعه 9سم، وكان طول قاعدة الثاني 20 سم، فما هو ارتفاع المثلث الثاني؟
الإجابة
بما أن المثلثين متشابهين النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (20/6)=3.33. حساب ارتفاع المثلث الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (ارتفاع المثلث الثاني/9)= 3.33، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=30 سم.
المثال العاشر
أ ب ج مثلث قائم الزاوية في أ، إذا كان أد عمودياً على الوتر ب ج، كم عدد المثلثات المتشابهة في الشكل الناتج؟
الإجابة
المثلثان أ ب ج، د ب أ يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هما: الزاوية القائمة والزاوية ب المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا. المثلثان أ ب ج، د أج يمتلكان زاويتين متناظرتين ومتساويتين هي الزاوية القائمة والزاوية ج المشتركة بينهما، فبالتالي المثلثان متشابهان بتطابق ثلاث زوايا. وبذلك ينتج ثلاث مثلثات متشابهة هي: أ ب ج، د ب أ، د أ ج.
المثال الحادي عشر
مثلثان متشابهان طول ضلعين من أضلاع المثلث الأول هي: 1.8، 8 سم، وطول ضلعين من أطوال أضلاع المثلث الثاني هي: س، 3 سم، ما هو طول الضلع س؟
الإجابة
بما أن المثلثين متشابهان فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/3)=2.67. حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (1.8/س)=2.67، ومنه س=4.8 سم.
وعلم الرياضيات وبالأخص تشابه المثلثات من ضمن أحد العلوم اشيقة التي يسعد بدراستها العديد من الطلبة والطالبات على مدار جميع المراحل التعليمية المختلفة، كما أن البعض منهم يفضل ويختار أن يكمل تعليمه الجامعي بدراسة هذا النوع من العلوم لما به من علم نافع. والآن نحب أن نسألك هل تخضفضل دراسة هذا المجال بعمق أكثر؟
بواسطة: Asmaa Majeed
اضف تعليق