- ما هو تعريف كثيرات الحدود؟
- ما هو تصنيف كثيرات الحدود
- استخدامات كثيرات الحدود اعتماداً على درجتها
- ما هو الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود
- العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
ما هو تعريف كثيرات الحدود؟
يمكننا تعريف كثيرات الحدود بأنها ” تلك التعبيرات الرياضية التي تتكون من بعض المتغيرات والمعاملات وذلك بالإضافة إلى الأسس غير السالبة وعمليات الجمع والطرح والضرب” وتعد كثيرات الحدود من الأحزاء الهامة جداً في علم الرياضيات حيث تستخدم تقريباً في كافة المجالات الرياضية للتعبير عن النتائج والأعداد الموجود بنهاية المسائل الرياضية.
- ومن أمثلة كثيرات الحدود: 3س2-2س+5، -7. س+3
- ومن التعابير التي لا تعد من كثيرات الحدود: 6س-2+2س-3، جتا(س2-1).
وتضم تلك التعابير أية عمليات أخرى غير الأسس السالبة والطرح والضرب والجمع.
ما هي أجزاء كثيرات الحدود؟
تنقسم كثيرات الحدود إلى قسمين، أحادي الحد ومعامل الحد، وسنفصلهم في الآتي:
أحادي الحد
- هو يعد من تعبيرات كثيرات الحدود، ويتكون من مجموعة من المتغيرات والمعامل، مع العلم أنه لا يحتوي على جمع أو طرح.
- ويطلق عليها اسم “الحد” إذا كانت جزءً من ضمن كثير حدود أكبر.
ويوضح المثال الآتي الطريقة التي تحدد من خلالها عدد الحدود المكونة لكثيرات الحدود.
- س+3: يتكون من حدين وهما س و3
- 3س2-2س+5: يتكون من ثلاثة حدود هي: 3س2، و2س، و5
- -7: يتكون من حد واحد وهو -7
- 3أ3ب2-3ب2+2أ-1: يتكون من أربعة حدود هي: 3أ3ب2، 3ب2، 2أ، 1
- 1/2س2-2/3س+3/4: يتكون من ثلاثة حدود هي: 1/2س2، -2/3س، ¾
معامل الحد
وهو العامل الغير متغير لهذا الحد، وينضرب لك مثلاُ لنبين لك طريقة تعيين المعاملات لكل حد من الحدود:
- الحد س: المعامل له 1
- الحد 3س2 المعامل له 3
- الحد 2أ2 المعامل له 2
ما هو تصنيف كثيرات الحدود
يمكن تصنيف كثيرات الحدود بإحدى الطريقتين التاليتين:
عدد الحدود
وتنقسم كثيرات الحدود بالنسبة لعدد الحدود إلى الأقسام التالية:
- أحادي الحد وهو يشتمل على عدد واحد مثل: 8 س.
- ثنائي الحد وهو يشتمل على حدين مثل 3س-4.
- ثلاثي الحد وهو يشتمل على ثلاثة حدود مثل 4س2+5س-2.
ملاحظة هامة: إذا اشتمل كثير الحدود على عدد أعلى من ثلاثة حدود فهو يسمى بعدد تلك الحدود التي يحتوي عليها.
الدرجة
ويتم تحديد درجة الحد عن طريق النظر لقيمة الأس على المتغير أو بالنظر إلى مجموع قيم الأسس على المتغيرات الموجودة فيه، وتساوي دائماً درجة كثيرات الحدود درجة الحد الأعلى، وفي التالي سوف نوضح طريقة لتحديد درجة كثيرات الحدود:
المثال الأول:
حدد درجة كثير الحدود الموجود في هذه المسألة 5س4+3س3+9س2.
درجة الحد 5س4 هي 4، كما أن درجة الحد 3س3 هي 3، أما درجة الحد 9س2 هي 2، وهذا يدل على الحد 5س4 هو الحد ذو الأعلى درجة هنا، ونستنتج من ذلك أن كثير الحدود هنا من الدرجة الرابعة وذلك لأن درجة كثير الحدود تساوي الدرجة الأعلى.
المثال الثاني
قم بتحديد درجة كثير الحدود في هذه المسألة: 6ص3+3س ص+9
نجد أن درجة الحد 6ص3 هي 3 ودرجة الحد 3س ص هي 2، أما درجة الحد 9 هي صفر، وهذا يدل على أن الحد 6ص3 هو الحد ذو الدرجة العالية، ونستنتج من ذلك أن كثير الحدود هنا من الدرجة الثالثة لأن درجة كثير الحدود كما نعلم تساوي الأعلى دائماً
استخدامات كثيرات الحدود اعتماداً على درجتها
- كثير الحدود ذو الدرجة الصفرية يسمى بالثابت، وبما أن قيمة الثابت لا تتغير أبداً فهو يستخدم في وصف تلك الكميات الغير متغيرة، وكثير الحدود ذو الدرجة الأولى يعرف بكثير الحدود الخطي حيث يقوم بوصف الكميات التي تتبدل وتتغير بمعدل ثابت، ويتم استخدامه بكثرة في المسائل الهندسية ذات البعد الواحد كالطول على سبيل المثال.
- أما كثير الحدود ذي الدرجة الثانية فيعرف باسم كثير الحدود التربيعي، ويتم استخدامه لوصف الكميات التي تتغير بنفس الكم من التسارع والتناقص، وهو يستخدم بشكل أكبر في المسائل الهندسية ذات البعد الثنائي مثل المساحة على سبيل المثال.
- وكثير الحدود من الدرجة الثالثة يعرف بكثير الحدود التكعيبي حيث يستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية ذات البعد الثلاثي كالحجم على سبيل المثال.
ما هو الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود
هناك طريقة قياسية لكتابة كثيرات الحدود وذلك عن طريق كتابة الدرجة الأعلى أولاً، ويوضح هذا المثال طريقة كتابة كثيرات الحدود بالشكل القياسي.
مقالات مشابهة
مثال: اكتب كثير الحدود الآتي بالطريقة القياسية: 3س2-7+4س3+س6
الحل: من الواضح أن الدرجة الأعلى هي 6 ولذلك فإنها ستكب أولا ثم 3 ثم 2 ثم الثابت وبهذا الشكل يكتب كثير الحدود هكذا: س6+4س3+3س2-7
العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
جمع وطرح كثيرات الحدود
عند جمع كثيرات الحدود يتم جمع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض، وهي تلك الحدود التي تمتلك المتغيرات والأسس ذاتها، كما يمكن لمعاملاتها أن تختلف عن بعضها، على سبيل المثال: تعتبر سن و7س و-2س حدوداً متشابهة إلا أنها تمتلك معاملات أخرى، في حين أن الحدود التالية تمتلك حدوداً مختلفة: 2س، 2س ص، 2س2، 4 وتطرح كثيرات الحدود أيضاً بنفس الطريقة.
مثال على جمع كثيرات الحدود
المسألة: احسب ناتج جمع 2س2+3س2+3س2-2س-1
الحل:
- 2س2+6س+5+3س2-2س-1
- يتم وضع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض كالتالي: 2س2+3س2 +6س-2س +5-1.
- نقوم بجمع الحدود المتشابهة: (2+3)س2+(6-2)س+(5-1)=5س2+4س+4.
مثال على طرح كثيرات الحدود
يشرح المثال التالي طريقة طرح كثيرات الحدود:
السؤال: أوجد ناتج طرح (5س2-7س2-9) – (4س2+5س-6).
الحل:
- نقوم بطرح كثيرات الحدود وذلك بإزالة الأقواس ثمّ توزيع إشارات الطرح والتي تغير من كل إشارة بعدها، وبعد ذلك أجمع الحدود المتشابهة.
- 5س3-7س2-8-4س2-5س+6= 5س3-7س2-4س2-5س-8+6=5س3-11س2-5س-2.
ضرب كثيرات الحدود
يمكنك ضرب كثيرات الحدود وذلك بتوزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من كثير الحدود الثاني ثم أجمع الحدود المتشابهة بعد ذلك – إن أمكن – وعندما تضرب الحدين ببعضهما يجب أولاً ضرب المعاملات ثم أجمع الأسس، وفي المثال الآتي سنوضح طريقة ضرب كثيرات الحدود بعضها ببعض.
المسألة: أوجد ناتج (3س-4ص)(5س-2ص).
الحل:
- قم بتوزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني وذلك بتوزيع 3س، و4ص، ومنه ينتج: 15س2-6س ص-20س ص+8ص2.
- بعد ذلك أجمع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض: 15س2-26س ص+8ص2.
بواسطة: Asmaa Majeed
اضف تعليق