- خصائص الأعداد الحقيقية
- ما هي الأعداد الحقيقية؟
- ما هي خصائص الأعداد الحقيقية؟
- ما هو الفرق بين الأعداد الصحيحة والطبيعية والكسرية
- ما هي الأعداد النسبية وغير النسبية؟
- العلاقة بين خصائص الأعداد
خصائص الأعداد الحقيقية
الأعداد الحقيقية في علم الرياضيات هي مجموعة من الأعداد غير المنتهية من اتحاد الأعداد النسبية وغير النسبية، وترمز هذه المجموعة بالرمز ح بينما تصير مجموعة الأعداد الحقيقية عبارة عن الخط الأفقي الذي يحتوي على جميع الاعداد سواء الموجبة أو السالبة بالإضافة إلى الصفر، نتعرف في هذا المقال على أهم خصائص الأعداد الحقيقية كما حددها علماء الرياضيات وأهميتها بالنسبة للاستخدام، فهيا بنا نتعرف عليها خلال السطور القليلة القادمة.
ما هي الأعداد الحقيقية؟
الأعداد الحقيقية هي مجموعة من الأعداد الموجبة والسالبة بالإضافة إلى الصفر ويشير العلماء لهذه الأعداد بالرمز ح هذا بالإضافة للخط الأفقي الذي يحتوي على جميع الأعداد السالبة والموجبة والصفر والذي يعبّر عن كل نقطة موجودة.
كما أنه لا يوجد لهذه الأعداد نهاية معينة أو محددة لذلك يرمز لها بإشارة أو رمز اللانهائي وهي: ∞ وهذه اللانهائية تشير إلى كلا الطرفين سواء الأعداد الموجبة والأعداد السالبة.
ومثل أي شىء آخر تعبّر عنه الرياضيات فإن الأعداد الحقيقية لها أهمية في التطبيقات الرياضية اليوّمية، حيث نتعرف من خلال بعض من خصائص الأعداد الحقيقية هذه التطبيقات أهميتها في علم الحساب والرياضيات البسيط الذي نستخدمه يومياً.
ما هي خصائص الأعداد الحقيقية؟
خصائص الأعداد الحقيقية هي مكونة من بعض المزايا التي توجد في تطبيقات الأعداد الحقيقية في علم الرياضيات، وهذه المزايا والخصائص يمكن الاستفادة منها في العديد من التطبيقات، وفيما يلي من خلال النقاط التالي نتعرف أكثر على هذه الخصائص:
- (أ+ب) = عدد حقيقي كذلك إذا جعلنا بصيغة الطرح أي طرح الرمز أ من ب فإنه يساوي عدد حقيقي وربما يكون مختلفاً عن صيغة الجمع، ومثال على ذلك إذا جمعنا 2+1= 3 أو طرحنا 2-1 = 1 وكلاهما من الأعداد الحقيقية.
- في صيغة الضرب أيضاً يمكن الحصول على ناتج الأعداد الحقيقية، وكذلك في حالة القسمة إذا قسمنا الرمزين أ / ب فإننا نحصل على نفس الناتج من العدد الحقيقي، وهناك العديد من الأمثلة ما بين الضرب والقسمة والحصول على نواتج متشابهة أو متوازية وكلاهما قد يكونا من الأعداد الحقيقية.
- العدد ( صفر) يعتبر من الأعداد الحقيقية، ويطلق عليه علماء الرياضيات في هذا الصدد العنصر المحايد بين هذه الاعداد وذلك نجده في الكثير من عمليات الحساب البسيطة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.
- العدد 1 من الأعداد الحقيقية التي أيضاً تعتبر عنصراً محايداً، فهو يقوم بمقام الصفر في نفس الوظيفية، وهذا نجده في الأمثلة المختلفة من عمليات الحساب البسيطة، وخاصة في عمليات الضرب، فإذا ضرب أي عدد من الأعداد في العدد 1 فإنك ستحصل على نتيجة رقمية هي هي نفس الرقم الأول مثال: 7 × 1 = 7 وهكذا على هذا النحو.
- هناك ما يسمى بخاصية النظير الجمعي، وهذه نجدها في جميع الأعداد الحقيقية، ولمزيد من التوّضيح مثلاً، فإن النظير الجمعي للرمز أ فهو – أ وبالتالي فإن أي عدد من الأعداد الحقيقية الموجبة له نظير جمعي له سالب لنفس الرقم.
- أما النظير الضربي للأعداد الحقيقية لا تساوي صفر فهي مقلوبة أو معكوسة ما بين عمليتي الضرب والقسمة، فعلى سبيل المثال نجد أن النظير الضربي للرمز أ هو عكسه ومقلوبه بالنسبة للقسمة، أي أن الرمز يكون مقسوماً بهذه الطريقة: أ/ 1
ما هو الفرق بين الأعداد الصحيحة والطبيعية والكسرية
في السطور القليلة القادمة ينقوم بإيجاز والتعرف على لون مختلف من الوان عالم الرياضيات المدهش، والذي نستخدمه في التطبيقات الحسابية اليوّمية، ولكي تكون متميزاً في هذه العمليات اليومية، لابد أن تتعرف على هذه الأعداد جميعها، وسنتعرف من خلال النقاط التالية الفرق بين ثلاثة من أنواع الأعداد وهي الأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية وكذلك الأعداد الكسرية أو ما يعرف بالكسور:
أولاً: ما هي الأعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة في مجموعة من الأعداد التي يمكن التعبير عنها في صورة الكسر، حيث أن مقام هذه الأعداد يساوي واحد وتتضمن مجموعة من الأعداد الموجبة والسالبة على حد سواء، أي أن هذه المجموعة اتحاد من الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى العدد الصفر أو العنصر المحايد في جميع العمليات الحسابية، أما عن العدد النهائي لتلك الأعداد الصحيحة فلا يوجد في الحقيقة إنما هي مجموعة من الأعداد الصحيحة التي لا نهاية لها.
ثانياً: ما هي الأعداد الطبيعية
أما الأعداد الطبيعية في مجموعة من الأعداد التي تبدأ من الرقم واحد ويمكن جمع هذا الواحد عدة مرات للحصول على نتيجة نهائية من مجموعة الأعداد الموجبة والتي تقع على يمين الصفر أي الاعداد التي لها قيمة، وهي أيضاً من الأعداد التي لا يوجد لها عدد معين فهي لا نهائية.
ثالثاً: ما هي الأعداد الكسرية
الأعداد الكسرية أو الكسور عبارة عن أعداد تكتب على سورة بسط حيث يوجد عددان صحيحان يتم قسمهما للحصول على عدد لا يساوي الصفر، بل إن القيمة الحقيقة له أقل من الرقم الصحيح، فهو عبارة أن عدد صحيح وجزء من عدد آخر مثل 1.5 وتوجد علامة عشرية أو كسرية لهذا الرقم سواء كانت هذه الرموز العشرية قبل الصفر أو على يمينه أو في يسار الصفر وهنا تتحدد قراءة وقيمة العدد الكسري أو العشري.
وإلى جانب هذه المجموعة من الأعداد السابقة، يوجد عدد من أنواع الأعداد الهامة التي يمكن استخدامها في التطبيقات الرياضية والعمليات الحسابية العادية والمعقدة، ونقصد بها تعريف مفهوم الأعداد النسبية وغير النسبية، وهذا ما نتعرف عليه في السطور المتبقية من هذا المقال.
ما هي الأعداد النسبية وغير النسبية؟
الأعداد النسبية؛ هي عبارة عن مجموعة من الأعداد التي لها خصائص ومزايا محددة، فهي أعداد مثلاً تحتوي على أعداد كسرية وكذلك جذور مربعات ومكعبات كاملة، ويمكن كتابة تلك الأعداد بالعديد من الصور المختلفة مثل الصورة العشرية والكسرية أو يمكن كتابته على هيئة قسمة عدد على عدد آخر، بحيث يكونان صحيحان ويكون العدد الثاني لا يساوي قيمة الصفر وذلك لأنه من المعروف أن عملية القسمة على العدد صفر لا تأتي قيمة عددية غير معروفة.
أما الأعداد غير النسبية؛ هي مجموعة من الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة العكس أو صورة القسمة التي يمكن تصوّرها للأعداد النسبية السابق ذكرها، والتي تختلف في طبيعتها عن الأعداد النسبية، حيث يمكن لهذه الأعداد في طبيعتها تحويلها صورة كسر وبسطها أو قسمها على العدد الصحيح أو الكسور العشرية الغير منتهية وغير الدورية وترمز بالرمز باي π
وهذا الرمز يدل على النسبة بين محيط الدائرة وبين القطر لهذه الدائرة وهي عدد عشري غير نهائي ولا يتميز بالدورية كذلك وكتابته على صورة 22/ 7 وذلك من اجل تسهيل العمليات الحسابية المتعددة.
وهناك العديد من الخصائص التي تدل على العلاقات المتشابهة بين مجموعات هذه الأعداد جميعها، فمن هذه الخصائص ما نعرضه خلال النقطة الاخيرة من هذا المقال.
العلاقة بين خصائص الأعداد
من خلال علماء الرياضيات والحساب الذين وضعوا العديد من القواعد والخصائص التي تتعلق بالاعداد المختلفة وعلاقتها ببعضها البعض، فإن هناك العديد من الخصائص في العلاقة بين مجموعات الأعداد تلك، ومن هذه الخصائص:
- كل ما هو عدد طبيعي يمكن ان يكون عدداً حقيقياً ونسبياً وصحيحاً في نفس الوقت فهي خصائص مشتركة لكل هذه المجموعات من الأعداد.
- كل الأعداد الصحيحة هي أعداد حقيقية ونسبية في نفس الوقت.
- كل الأعداد النسبية هي بالتأكيد أعداد حقيقية.
- الأعداد النسبية يمكن في خصائصخا المشتركة تكون أعداد حقيقة.
- في نهاية هذا العرض، فإن الأعداد الرياضية ومجموعاتها وخصائصها عديدة ولها العديد من التطبيقات اليومية في عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، لذلك علينا أن نتعرف عليها وعلى خصائصها بشكل عام لكي نطبق هذه التطبيقات.
بواسطة: Asmaa Majeed
اضف تعليق