- ما هي كثيرات الحدود؟
- أجزاء كثيرات الحدود
- معامل الحد
- كيفية تصنيف كثيرات الحدود؟
- ما هو الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود؟
- مجموعة من العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
- الأمثلة
- كيفية ضرب كثيرات الحدود؟
- أمثلة مختلفة حول كثيرات الحدود
ما هي كثيرات الحدود؟
في مقالنا هذا سنتناول بحث عن كثيرات الحدود وهو مصطلح في علم الرياضيات وتعني كثيرات.
الحدود أنها عبارة عن تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات وثوابت(معاملات)، هذه بالإضافة إلى عمليات الجمع والطرح والضرب، والأسس غير السالبة أيضا.
وكثيرات الحدود شيء مهم في علم الجبر والرياضيات،تستخدم في كل المجالات الرياضية للتعبير عند الأعداد كنتيجة لعمليات رياضية محددة.
أمثلة رياضية عن كثيرات الحدود:
س2-2س+5، -7. س+3
اما 6 س-2+2س-3، جتا(س2-1)، فهي تعابير لا تعد من كثيرات الحدود،وهي التعابير التي تضم عمليات أخرى غير الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة.
أجزاء كثيرات الحدود
تتكون أجزاء كثيرات الحدود من عدة أجزاء وهي
أحاديات الحدود أو الحدود Monomials هو تعبير ما يحتوي على متغيرات وثوابت، وفي بعض الوقت ثوابت فقط ،وفي هذه الحالة لا يتضمن عمليات طرح أو جمع،كما أن أحاديات الحدود تعتبر الأجزاء الأساسية التي تتكون منها كثيرات الحدود، وتسمى بأسم الحد Term،وهذا إذا كانت جزء من كثيرات الحدود.
ولتوضيح هذا نستشهد بمثال لتحديد عدد الحدود المكونة لكثيرات الحدود:
- كثير الحدود(3س2-2س+5)، عدد الحدود المكونة له ثلاثة حدود هي: 3س2، و-2س، و5
- كثير الحدود(س+3 )يتكون من حدين هما: س و3
- كثير الحدود(3أ3ب2-3ب2+2أ-1) يتكون من أربعة حدود هي: 3أ3ب2 ، -3ب2 ، 2أ ، -1
- كثير الحدود (-7) يتكون من حد واحد هو -7
- كثير حدود 1/2س2-2/3س+¾ يتكون من ثلاثة حدود هي:1/2س2، -2/3س ، 3/4
معامل الحد
يعرف على أنه العنصر الثابت وغير المتغير لذلك الحد.
ونستخدم المثال الآتي: طريقة تحديد المعاملات لكل حد من الحدود:
- الحد 3س2، المعامل 3
- الحد س، المعامل 1
- الحد 2أ2ب3، المعامل 2
ملحوظة هامة:عند عدم وجود متغيرات في الحد فإن المعامل يكون هو الحد نفسه.
كيفية تصنيف كثيرات الحدود؟
نقوم بتصنيف كثيرات الحدود بطريقتين مختلفتين هما.
عدد الحدود: حيث ينقسم كثير الحدود بالنسبة إلى عدد الحدود إلى الأجزاء التالية:
- أحادي الحد، وهو يضم حداً واحداً فقط؛ مثل: 8س.
- ثنائي الحدود، وهو يضم حدين فقط؛ مثل: 3س-4.
- ثلاثي الحدود، وهو يضم ثلاثة حدود فقط؛ مثل: 4س2+5س-2.
وعند احتواء كثير الحدود على عدد أكثر من ثلاثة حدود، فهو يسمى طبقا لعدد الحدود التي يحتوي عليها. - الدرجة:يتم تحديد درجة الحد الواحد من الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود وذلك عن طريق النظر إلى قيمة أس المتغير الموجود فيه، أو مجموع قيم أسس المتغيرات المكوّنة له في حال ضمها على أكثر من متغير واحد، وذلك لتساوي درجة كثير الحدود درجة الحد الأعلى كثيرا من الحدود المكوّنة له.
وعن طريق الأمثلة الآتية يتم تحديد درجة كثير الحدود:
المثال الأول: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 6ص3+3س ص+9.
النتيجة هي: درجة الحد 6ص3 هي 3، ودرجة الحد 3س ص هي 2، ودرجة الحد 9 هي صفر، وعليه يعد الحد 6ص3 الحد ذا الدرجة الأعلى هنا، وطبقا لذلك يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الثالثة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
المثال الثاني: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 5س4+3س3+9س2: الحل: درجة الحد 5س4 هي4، ودرجة الحد 3س3 هي 3، ودرجة الحد 9س2 هي 2، وعليه يعد الحد 5س4 الحد ذا الدرجة الأعلى هنا؛ وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الرابعة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
ونشير هنا إلى أن كثير الحدود ذا الدرجة الصفرية يطلق عليه مصطلح الثابت، ولأنّ قيمة الثابت لا تتغير فهو يستخدم لوصف الكميات غير المتغيرة.
ويطلق على كثير الحدود ذو الدرجة الأولى بكثير الحدود الخطي، وهو يُستخدم لتعريف الكميات التي تتغير بمعدل ثابت، وهو يُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المرتبطة بالبعد الواحد مثل الطول، كثير الحدود ذو الدرجة الثانية يعرف أيضا بأسم كثير الحدود التربيعي، وهو يستخدم بشكل كبير وهام في المسائل الهندسية المرتبطة بالأبعاد الثنائية؛ مثل المساحة،.
وكثير الحدود ذو الدرجة الثالثة يعرف بكثير الحدود التكعيبي، ويتم إستخدامه بشكل كبير في المسائل الهندسية ثلاثية الأبعاد مثل الحجم.
ما هو الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود؟
كثيرات الحدود يتم كتابتها بالطريقة القياسية عن طريق كتابة الحدود ذات الدرجة الأعلى أولاً، و بعد ذلك ترتيبها يصبح تنازلياً حتى الوصول إلى الحد ذي الدرجة الأصغر.
و للتوضيح نستخدم المثال الآتي طريقة كتابة كثيرات الحدود بالطريقة القياسية:
مثال:اكتب كثير الحدود الآتي بالشكل القياسي: 3س2-7+4س3+س6.
طريقة الحل: الحد ذو الدرجة الأعلى هو س6، ولذا فهو يُكتب أولاً، ثمّ 4س3، ثمّ 3س2، ثمّ الثابت.
ولذلك يكتب كثير الحدود هذا بالشكل التالي: س6+4س3+3س2-7.
مجموعة من العمليات الحسابية على كثيرات الحدود
جمع وطرح كثيرات الحدود
نقوم بجمع كثيرات الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، وهي الحدود التي تحتوي على المتغيرات والأسس ذاتها، ويمكن لمعاملاتها أن تختلف عن بعضها؛ فمثلاً تعد س، و7س، و-2س حدوداً متشابهة إلا أنّها تحتوي على معاملات مختلفة، بينما تعد الحدود الآتية حدوداً مختلفة: 2س، 2س ص، 2 ص، 2 س 2، 4 كما يتم طرح كثيرات الحدود أيضاً بالطريقة نفسها.
الأمثلة
- المثال الأول: جد ناتج طرح: (5ص² + 2س ص -9) – (2ص² + 2س ص – 3).
- النتيجة: يتم إزالة الأقواس أولاً،ثم تطرح كثيرات الحدود، ثمّ توزيع إشارة الطرح على القوس الذي يليها لتغيّر كل إشارة فيه، ثمّ جمع الحدود المتشابهة، وذلك كما يلي. 5ص² + 2 س ص -9 -2ص² -2س ص+3 = 5ص²-2ص² + 2 س ص-2 س ص -9+3 = (5-2)ص²+0-6 = 3ص²-6
- المثال الثاني:احسب ناتج جمع 2 س 2+6س+5 و 3س2-2س-1.
- الناتج: أولاً: كتابة المسألة بالشكل الآتي: 2 س 2+6س+5+3س2-2س-1.
ثانياً: ترتيب المسألة بوضع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض: (2س2+3س2) + ( 6س-2س) + (5-1).
ثالثاً: جمع الحدود المتشابهة لينتج ما يلي: (2+3)س2+(6-2)س+(5-1)=5س2+4 س+4.
كيفية ضرب كثيرات الحدود؟
ضرب كثيرات الحدود يتم عن طريق توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، ثمّ جمع الحدود المتشابهة إن أمكن ذلك، وعند ضرب الحدين ببعضهما البعض؛ فيجب أولاً ضرب المعاملات ببعضها ثمّ جمع الأسس.
ويوضح المثال التالي طريقة ضرب كثيرات الحدود ببعضها.
مثال:جد ناتج (3س-4 ص)×(5س-2ص).
النتيجة:توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، وهنا يجب توزيع: 3س، و 4 ص، ومنه ينتج أن: 15س2-6س ص-20س ص+8ص2. جمع الحدود المتشابهة مع بعضها: 15س2-26س ص+8ص2.
أمثلة مختلفة حول كثيرات الحدود
المثال الأول
إذا كانت أ = 4س4 -3س³+س²-5س+11، ب = -3س4+6س³-8س²+4س-3، جد ناتج أ-2×ب. النتيجة: حساب 2×ب أولاً = 2×(-3س4+6س³-8س²+4س-3) = -6س4+12س³-16س²+8 س-6. حساب أ-2ب = 4س4 -3س³+س²-5س+11 – (-6س4+12س³-16س²+8س-6) = 4س4+6س4-3س³-12س³+س²+16س²-5س-8س+11+6 = 10س4-15س³+17س²-13س+17.
المثال الثاني
جد ناتج ما يلي:[٦][٧] (3س+2)×(4س²-7س+5). (4 س-5)×(2س²+3 س-6). (3س²-6س+س ص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص). (2س²-4ص+7 س ص-6ص²) – (-3س²+5 ص-4 س ص+ص²).
النتيجة: (3 س+2)×(4س²-7س+5) = 12س³-21س²+15س+8س²-14 س+10 = 12س³-21س²+8س²+15 س-14 س+10 = 12س³- 13س² +س +10. (4س-5)×(2س²+3س-6) = 8س³+12س²-24س-10س²-15س+30 = 8س³+12س²-10س²-24س-15س+30 = 8س³+2س² -39س +30. (3س²-6س+س ص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص) = 2س³ + 3س²-5س² -6س+7 س +س ص + 8 ص -3ص = 2س³ -2س² +س +س ص + 5ص. (2س²-4ص+7 س ص-6ص²) – (-3س²+5 ص-4 س ص+ص²) = 2س²+3س² -4ص-5 ص +7 س ص+4 س ص -6ص²-ص² = 5س² -9ص + 11 س ص -7ص².
المثال الثالث
كم عدد الحدود المكوّنة لكثير الحدود الآتي: 3س5-2س³-4س+7.
النتيجة هي: الحدود المكونة له هي: 3س5، -2س³، -4س، 7، وعددها هو (4).
المثال الرابع
جد درجة كل كثير حدود من الآتي: 7س²+3س-2 س 4+8س6-7.
6س³+3 س ص +9.
4س²+3س+9.
3س4-4س³ص+6س²ص³+7ص4+2.
النتيجة هي: 7س²+3س-2س4+8س6-7.
7س²، درجته هي (2)
3س درجته هي (1)
-2س4 درجته هي(4)
8س6 درجته هي (6)،
-7 درجته هي (0). درجة كثير الحدود هذا هي (6)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة السادسة.
بواسطة: Asmaa Majeed
اضف تعليق